４月から失業保険を貰い。
ハローワークの紹介で７月に就職ができ、試用期間２ヶ月で働いていましたが。
約１ヶ月」、働いたところ熱中症になり三半規管が炎症を起こし全治に１２日以上かかると診断を受け。
会社に迷惑がかかると思い退職しました。

この場合
再度、失業保険を貰うことが出来るでしょうか。
自分は再就職手当や雇用保険を貰っています。

再就職手当が支給された＝基本手当残日数が有る、という事になりますから、再求職の手続きをとれば、離職日翌日からの支給再開です。認定日で失業認定を受けて支給です。
「雇用保険受給資格者証」を持ってHWで手続きしましょう。

※ただし、前職の離職日より1年経過していると、その資格は消滅します。

自己都合退職による失業保険支給期間に就職が決まった場合はどうなるのでしょうか…？
5月末で自己都合（という名目）で勤めていた会社を退職させられた友人がいます。
雇用保険は5～10年の範囲で納めており、年齢は36歳です。
再就職の意思はあるのですが、貯金が少なく、支給期間内に就職先が確定した場合の
失業保険の支給有無についてとても心配しております。

上記の条件ですと、恐らく90日間の待機期間の後90日間の支給となるのが通例と思いますが、
例えば、以下のようなケースの場合はどうなりますでしょうか。
例１：就職先が見つかり、45日目から勤務開始
例２： 〃 、120日目から勤務開始

予備知識が全く無く困っております。
どなたかご存知の方ご教示お願いできませんでしょうか。
宜しくお願い致します。

自己都合退職の場合・・・・・失業保険の申請の手続き後7日間の待機（仕事をしていない状態）が過ぎ、最初の1カ月間はハローワークの求人で採用されないと再就職手当は支給されないと思います。
2か月目からはそれ以外の求人への応募採用でも再就職手当の対象になるはずです。
自己都合でもいろいろあるのでハローワークで聞いてみてください。

現在就職活動中ですが、ハローワークで紹介されている仕事以外で就職した場合、失業保険の残り分の支給や、再就職手当て等は入らないのでしょうか？

※関係ないかもしれませんが、先月末退職
をし、失業保険給付の手続きを取りました。
一応契約期間満了ですが、離職表が来月届くため、離職表を見てから給付がすぐできるか判断するとハローワークに言われている状態です。

給付制限３ヶ月がある場合は最初の１ヶ月はハローワークの紹介の仕事についた場合のみ再就職手当が支給されます。
それ以降なら自分が探してきた職でも関係ありません。

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